Respuesta: El monosílabo "tu" lleva tilde cuando es un pronombre personal (tú). No lleva tilde cuando es un adjetivo posesivo (tu).

Vamos a revisar tus ejemplos:

1. "Debes hacerlo bien ya que es **tu** responsabilidad."
- Aquí "tu" es un adjetivo posesivo, por lo que no lleva tilde.

2. "Aunque pase el tiempo, **tú** nunca te olvidarás de mí."
- Aquí "tú" es un pronombre personal, por lo que lleva tilde.

3. "No me digas que **tu** no irás con nosotros mañana."
- Aquí "tú" es un pronombre personal, por lo que lleva tilde.

4. "Creo con firm." (Nota: Esta oración parece incompleta y no contiene el monosílabo "tu").

En resumen, el caso en el que "tu" no debería llevar tilde es el primero:

1. "Debes hacerlo bien ya que es **tu** responsabilidad."

Este es el caso correcto donde "tu" no lleva tilde porque es un adjetivo posesivo.